第3章 移动机器人运动学#

⭐ 考试重点章节

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3.1 什么是运动学？#

运动学 (Kinematics): 描述机器人机械行为的学科，建立机器人速度与轮子速度、转向角之间的函数关系。

与机械臂运动学的区别：

• 移动机器人可相对环境无限制运动
• 没有测量位置的直接方法 → 位置必须随时间积分
• 积分导致误差累积 → 移动机器人的首要挑战

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3.2 坐标系与位姿#

两个坐标系#

• 惯性系 $\{X_I, Y_I\}$: 全局固定参考系
• 机器人系 $\{X_R, Y_R\}$: 固连于机器人本体

位姿与速度#

$$\xi_I = \begin{bmatrix} x & y & \theta \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$$ $$\dot{\xi}_I = \begin{bmatrix} \dot{x} & \dot{y} & \dot{\theta} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$$ $$\dot{\xi}_R = \begin{bmatrix} v_{xR} & v_{yR} & \dot{\theta} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}$$

坐标变换#

旋转矩阵 $R(\theta)$:

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

逆映射 $R^{-1}(\theta) = R^{\mathsf{T}}(\theta)$:

$$R^{-1}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

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3.3 前向运动学模型#

问题#

给定机器人几何特征和轮子转速 → 求机器人运动速度。

为什么不直接求位置？→ 没有闭合形式，需积分。

前向运动学（轮速 → 机器人速度）:

$$\dot{\xi} = f(\dot{\phi}_1, \ldots, \dot{\phi}_n,\; \beta_1, \ldots, \beta_m,\; \dot{\beta}_1, \ldots, \dot{\beta}_m)$$

逆向运动学（机器人速度 → 轮速）:

$$\begin{bmatrix} \dot{\phi} & \beta & \dot{\beta} \end{bmatrix}^{\mathsf{T}} = f(\dot{x}, \dot{y}, \dot{\theta})$$

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3.4 差动驱动机器人运动学 ⭐核心#

基本设定#

• 两标准轮，半径 $r$，半轮距 $l$（即轮距 $2l$）
• 中心点 $P$ 在两轮中点
• 左轮转速 $\dot{\phi}_1$，右轮转速 $\dot{\phi}_2$

轮速与速度关系#

左轮线速度:

$$r\dot{\phi}_1 = v + l\dot{\theta}$$

右轮线速度:

$$r\dot{\phi}_2 = v - l\dot{\theta}$$

本体坐标系速度#

（$v_{yR}=0$ 是非完整约束）

$$v_{xR} = \frac{r}{2}(\dot{\phi}_1 + \dot{\phi}_2)$$ $$v_{yR} = 0$$ $$\dot{\theta} = \frac{r}{2l}(\dot{\phi}_1 - \dot{\phi}_2)$$

惯性坐标系速度#

$$\dot{x} = v_{xR} \cos\theta = \frac{r}{2}(\dot{\phi}_1 + \dot{\phi}_2) \cos\theta$$ $$\dot{y} = v_{xR} \sin\theta = \frac{r}{2}(\dot{\phi}_1 + \dot{\phi}_2) \sin\theta$$ $$\dot{\theta} = \frac{r}{2l}(\dot{\phi}_1 - \dot{\phi}_2)$$

矩阵形式#

$$\dot{\xi}_R = \begin{bmatrix} r/2 & r/2 \\ 0 & 0 \\ r/(2l) & -r/(2l) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\phi}_1 \\ \dot{\phi}_2 \end{bmatrix}$$

关键结论#

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3.5 轮子的运动学约束 ⭐核心#

前提假设#

1. 水平面上运动
2. 轮子与地面点接触
3. 轮子不可变形，纯转动
4. 没有任何滑动
5. 绕触点没有转动摩擦
6. 操纵轴与平面垂直
7. 轮子与刚性框架连接

约束参数#

(1) 固定标准轮的滚动约束#

本体速度在轮平面方向的分量 = 轮子线速度

$$\begin{bmatrix} \sin(\alpha+\beta) & -\cos(\alpha+\beta) & -l\cos\beta \end{bmatrix} \cdot R(\theta) \cdot \dot{\xi}_I = r\dot{\phi}$$

(2) 固定标准轮的滑动约束#

本体速度在垂直轮平面方向的分量 = 0（不能侧滑！）

$$\begin{bmatrix} \cos(\alpha+\beta) & \sin(\alpha+\beta) & l\sin\beta \end{bmatrix} \cdot R(\theta) \cdot \dot{\xi}_I = 0$$

(3) 受操纵标准轮#

• 滚动和滑动约束形式不变
• $\beta$ 成为操纵变量（可变）

(4) 小脚轮 (Castor)#

• 滚动约束形式不变，$\beta$ 也是时间变量
• 滑动约束需额外考虑 $\dot{\beta}$:

$$\begin{bmatrix} \cos(\alpha+\beta) & \sin(\alpha+\beta) & d + l\sin\beta \end{bmatrix} \cdot R(\theta) \cdot \dot{\xi}_I + d\dot{\beta} = 0$$

(5) 瑞典轮 (Swedish Wheel)#

• 滚动约束需考虑小轮轴面（参数 $\gamma$）:

$$\begin{bmatrix} \sin(\alpha+\beta+\gamma) & -\cos(\alpha+\beta+\gamma) & -l\cos(\beta+\gamma) \end{bmatrix} \cdot R(\theta) \cdot \dot{\xi}_I = r\dot{\phi}\cos\gamma$$

• 没有滑动约束！ ⭐

(6) 球形轮#

• 滚动约束与固定标准轮相同
• 滑动约束与固定标准轮相同

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3.6 约束方程的矩阵形式#

设有 $N = N_f + N_s$ 个标准轮：

滚动约束:

$$J_1(\beta_s) \cdot R(\theta) \cdot \dot{\xi}_I + J_2 \cdot \dot{\phi} = 0$$

其中 $J_2 = \operatorname{diag}(r_1, \ldots, r_N)$（对角阵）。

滑动约束:

$$C_1(\beta_s) \cdot R(\theta) \cdot \dot{\xi}_I = 0$$

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3.7 差动驱动机器人约束实例#

左轮: $\alpha_1 = \pi/2,\; \beta_1 = 0$#

• 滚动: $v_{xR} - l\dot{\theta} = r\dot{\phi}_1$
• 滑动: $v_{yR} = 0$

右轮: $\alpha_2 = -\pi/2,\; \beta_2 = -\pi$#

• 滚动: $v_{xR} + l\dot{\theta} = r\dot{\phi}_2$
• 滑动: $v_{yR} = 0$

矩阵形式#

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -l \\ 1 & 0 & l \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \dot{\xi}_R = \begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\phi}_1 \\ \dot{\phi}_2 \end{bmatrix}$$

⚠️ 轴安装不正的后果#

如果右轮 $\alpha_2 \neq -\pi/2$（安装偏了），会产生额外的滑动约束 → 机器人不能移动！

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3.8 自行车模型#

• 后轮: 固定标准轮
• 前轮: 操纵标准轮（转向角 $\beta$）

滑动约束 (前轮):

$$-\sin\beta \cdot v_{xR} + \cos\beta \cdot v_{yR} + l\cos\beta \cdot \dot{\theta} = 0$$

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3.9 全向机器人（三瑞典轮）#

三个瑞典轮 $\gamma=0$，$\alpha_1=\pi/3,\; \alpha_2=\pi,\; \alpha_3=-\pi/3$

只有滚动约束，没有滑动约束 → 全向运动（$\delta_M = 3$）

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3.10 运动学位置控制（了解）#

开环控制#

• 轨迹分割为直线+圆弧段
• 缺点: 预计算难、不光滑、不能适应动态变化

反馈控制#

• 寻找控制矩阵 $K$，使 $v(t)=K \cdot e$
• 驱动误差 $e \to 0$: $\lim_{t\to\infty} e(t) = 0$
• 极坐标转换后系统局部指数稳定条件:

$$k_\rho > 0,\quad k_\beta < 0,\quad k_\alpha - k_\rho > 0$$

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3.11 非完整系统#

完整 vs 非完整#

完整约束: 可表示为位置变量的显函数 $C(q)=0$

• 例: 固定操纵轮沿直线运行 → $v_x = r\dot{\phi}$ → $x = x_0 + \phi r$

非完整约束: 需微分关系 $C(q, \dot{q})=0$，不能仅用位置变量表示

• 固定和可操纵标准轮产生非完整约束
• 不能通过积分得到最终点！
• 各轮行走距离不足以确定位置，还需知道运动过程的时间函数

可积性条件#

对于 $ds = dx \cos\theta + dy \sin\theta$，检查二阶混合偏导:

$$\frac{\partial^2 s}{\partial x \partial \theta} = -\sin\theta \neq 0 = \frac{\partial^2 s}{\partial \theta \partial x}$$

第 2 和第 3 等式不成立 → 非完整系统

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考前速记#