第 2 章控制系统的数学模型#

时域：微分方程，差分方程，状态空间模型

频域：传递函数，方块图，频率特性

时域转换成频域：线性系统可以使用傅里叶变换和拉普拉斯变换

2.1 微分方程#

从输入端开始，按信号流向列方程，依次写出控制系统中各原件输入量与输出量之间的微分方程

消去中间变量，得到输出量与输入量的关系

机械系统#

例：质量，弹簧，阻尼器系统

倒立摆

电路系统#

相似系统：（放一张系统建模的课件）

机电系统（重点是电枢电压控制）#

电枢是 armature

磁场是 Magnetic field

2.2 传递函数#

零初始条件下，系统输入量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比

零初始条件如图：

只用于描述线性定常系统

非零初始条件下的动态响应：#

在本题中的应用#

在本题中，已知总响应和输入，要求传递函数。解题步骤是：

从总响应中减去由输入引起的零状态响应中的强制响应（常数项），得到包含指数模式的剩余部分。
但更直接的方法是：利用初始条件确定零输入响应。因为零输入响应只与初始条件和系统特征根有关，而特征根可以从总响应的指数项中看出-1和-2。所以将零输入响应设为 $y_1(t) = a e^{-t} + b e^{-2t}$ 是合理的。
然后利用给定的初始条件 $y(0) = -1$ 和 $\dot{y}(0) = 0$ 解出系数 a 和 b 。注意：这里的初始条件是总响应的初始条件，但零状态响应在 t=0 时通常为零（因为零状态响应是输入引起的，且系统初始松弛），所以零输入响应的初始条件就等于总响应的初始条件。
得到零输入响应后，从总响应中减去它，就得到了零状态响应 $y_2(t)$
对 $y_2(t)$ 和输入 $r(t)$ 分别取拉普拉斯变换，它们的比值就是传递函数 $G(s )$

总结#

关键点：

零输入响应的形式由系统特征根决定，与输入无关。
从总响应的指数项可以推断系统的特征根（极点）。
因此，可以将零输入响应设为这些特征根对应的指数模式的线性组合，然后利用初始条件确定系数。

这种方法是线性系统时域分析的标准步骤，它基于系统的线性叠加原理和微分方程解的结构理论。

1. 比例环节#

$\begin{aligned} & y(t)=Kr(t) \\ & G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=K \end{aligned}$

2. 惯性环节#

$\begin{aligned} & T\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=Kr(t) \\ & G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{K}{Ts+1} \\ & 当输入信号\ r(t)=l(t)\ 时 \\ & y(t)=K(1-e^{-t/T}) \end{aligned}$

3. 积分环节#

4. 微分环节#

5. 振荡环节#

6. 滞后环节s#

2.3 方块图#

组成和绘制#

简化#

原则#

相加点向相加点移动
分支点向分支点移动
相加点与分支点尽量不交换，也可以换

规则#

相加点后前移

分支点前后移

消去反馈回路

2.4 信号流图#

组成和建立#

梅森增益公式#

$P= \frac{\sum_{k=1}^n {P_k \Delta_k}} {\Delta}$

第 2 章 控制系统的数学模型

第 2 章 控制系统的数学模型#