第 3 章 线性系统的时域分析法#

时域分析：控制系统在一定的输入信号（阶跃，脉冲）作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能

3.1 典型输入信号和时域性能指标#

典型输入信号#

• 脉冲函数

$\begin{aligned} & \delta(t) = \begin{cases} 0, &t\neq0 \\[2ex] \infty, &t=0 \end{cases} \\ & L[\delta(t)] = 1 \end{aligned}$

• 阶跃函数

• 斜坡函数

• 抛物线函数

• 正弦函数

典型响应#

微分方程的解#

• 通解
• 特解
• 稳态响应/过程
• 瞬态响应/过程

瞬态响应的性能指标#

通常以_阶跃响应_来衡量系统控制性的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的系统的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。

衰减振荡#

• 延迟时间 t_d
• 上升时间 t_r
• 峰值时间 t_p
• 最大超调量 δ％
• 调节时间 t_s ( 5 或者 2 )
• 振荡次数 N

单调变化#

没有峰值时间，最大超调量

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3.2 一阶系统的瞬态响应#

一阶系统的数学模型#

积分环节+反馈环节=惯性环节

K = 1 / T

时间常数 T 反映了系统的惯性，T 越大惯性越大，系统响应速度越慢

$\begin{aligned} & T\frac{dy(t)}{dt} +y(t) =r(t) ,\ t≥0 \\ & \Phi(s)= \frac{Y(s)}{R(s)}= \frac{1}{Ts+1} \end{aligned}$

一阶系统的单位脉冲响应#

一阶系统的单位阶跃响应#

一阶系统的单位斜坡响应#

一阶系统的单位加速度响应#

一阶系统的瞬态性能指标#

减小一阶系统时间常数的方法#

负反馈：减小了 T，也减小了输出幅值

串联比例环节（增大 K）

小结#

• 一阶系统的传递函数和典型结构图
• 一阶系统的单位阶跃响应（单调上升曲线，性能指标常用调整时间）
• 减小一阶系统时间常数的方法（为什么要减小时间常数）

3.3 典型二阶系统的瞬态响应#

典型二阶系统的数学模型#

$T^2 \frac{d^2y(t)}{dt^2} +2{\zeta\ }T \frac{dy(t)}{dt} +y(t) =r(t) ,\ t≥0$

典型二阶系统的单位阶跃响应#

四种情况划分#

欠阻尼系统的输出响应表达式#

推导：

极点的负实部越小，衰减越快

虚部越小，振荡频率越小

过阻尼系统#

阻尼系数远大于 1 时，系统降为 1 阶

典型二阶系统的性能指标与其系统参数的关系#

改善二阶系统响应特性的措施#

速度反馈#

自然角频率和开环增益都不变

比例微分顺馈：增加了一个闭环零点#

自然角频率不变，开环增益减小

变化前（无速度反馈）：系统的开环传递函数为 $G(s)$。此时开环增益为：$K_{前} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{\omega_n^2}{s(s + 2\zeta\omega_n)} = \mathbf{\frac{\omega_n^2}{2\zeta\omega_n} = \frac{\omega_n}{2\zeta}}$ 变化后（有速度反馈）：此时外环的开环传递函数变成了 $G_{eq}(s)$ 。新的开环增益为： $K_{后} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{\omega_n^2}{s(s + 2\zeta\omega_n + \tau\omega_n^2)} = \mathbf{\frac{\omega_n^2}{2\zeta\omega_n + \tau\omega_n^2}}$

对比#

• 对开环增益和自然频率的影响： 比例微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；速度反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，速度反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振
• 对动态过程的影响：在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于速度反馈控制系统的超调量（因为零点具有导数作用，比例微分是在前向通道中添加零点，既添加了开环零点又添加了闭环零点，速度反馈是在反馈通道中添加了开环零点，而没有添加闭环零点）

具有零点的二阶系统分析#

小结#

• 二阶系统的动态性能指标基于两个条件
  • 性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的
  • 初始条件为零
• 典型二阶系统的瞬态响应
  • 二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应
• 典型二阶系统的性能指标
  • 主要是超调量和调整时间
  • 与系统参数的关系
  • 速度反馈校正
• 具有零点的二阶系统
  • 单位阶跃响应的紧凑形式
  • 性能指标
  • 微分顺馈校正

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3.4 高阶系统分析#

三阶系统：二阶系统+惯性环节（多一个极点）

稳态项+实极点项+共轭复极点项

高阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布

极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大小

极点的影响#

• 距虚轴近的极点对应的项衰减得慢；距虚轴远的极点对应的项衰减得快
• 距虚轴近的极点对应的系数大，而距虚轴远的极点对应的系数小

零点的影响#

• 零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系数
• 零点若靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小

例：

偶极子#

一对零极点，距离小于极点到虚轴距离的十分之一，可以忽略

主导极点#

条件：

• 离虚轴最近的一对共轭极点或一个实极点
• 极点附近无零点
• 其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚轴的距离的5倍以上

系统性能主要由主导极点决定，系统传递函数表现为只有主导极点（二阶或一阶），其他被忽略

3.5 稳定性和代数稳定判据#

稳定性#

渐进稳定性

有界输入有界输出稳定性 BIBO

稳定充要条件：闭环极点位于左半平面，或劳斯阵第一列为正

稳定必要条件：闭环特征方程不缺项，且每一项系数同号

劳斯稳定判据#

• 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论
• 劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定，在s右半平面上有极点
• 极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数
• 劳思阵某一行第一列系数为零，而其余系数不全为零，用小正数 ξ 代替
• 劳斯阵某行系数全为零的情况：处理方法如图

赫尔维茨判据#

稳定充要条件：

1. a_n >0，且余子式>0
2. a_i >0，且奇数或偶数余子式>0

相对稳定性（稳定裕度）#

一张图概括：

结构不稳定（缺项）系统及其改进措施#

一是改变积分性质，二是引入开环零点，都是为了补上缺项

• 反馈消除积分环节
• 速度反馈
• 比例微分引入开环零点

3.6 稳态误差分析#

Steady-State Errors

• 只有稳定的系统计算稳态误差才有意义
• 使用拉氏变换终值定理计算

典型输入下的稳态误差：#

• 稳态误差与输入 R(s)、开环增益 K、系统型次 v （无差度阶数/积分环节数）有关

扰动输入作用下的稳态误差：#

• 稳态误差与扰动输入 N(s)、开环增益 K、系统型次 v （无差度阶数/积分环节数），G1(s) 有关

消除误差的方法#