02 模糊逻辑推理#

1. 本章定位#

本章是模糊控制的推理核心。考试重点是模糊规则、模糊关系、合成推理和去模糊化。

规则：

\text{IF } X=A \text{ THEN } Y=B

事实：

X=A'

结论：

Y=B'

解题思路：

Mamdani 最小关系：

\mu_R(x,y)=\mu_A(x)\wedge\mu_B(y)

Larsen 乘积关系：

\mu_R(x,y)=\mu_A(x)\mu_B(y)

速记：

一般形式：

B'=A'\circ R=A'\circ(A\to B)

最大-最小合成：

\mu_{B'}(y)=\bigvee_{x\in X}\left[\mu_{A'}(x)\wedge\mu_R(x,y)\right]

最大-代数积合成：

\mu_{B'}(y)=\bigvee_{x\in X}\left[\mu_{A'}(x)\mu_R(x,y)\right]

规则：

\text{IF }x\text{ is }A\text{ THEN }y\text{ is }B

事实：

x\text{ is }A'

采用 max-min 推理：

\mu_{B'}(y)=\bigvee_x[\mu_{A'}(x)\wedge\mu_A(x)\wedge\mu_B(y)]

令：

\omega=\bigvee_x[\mu_{A'}(x)\wedge\mu_A(x)]

则：

\mu_{B'}(y)=\omega\wedge\mu_B(y)

含义：事实 $A'$ 与规则前件 $A$ 的匹配度为 $\omega$ ，后件 $B$ 被 $\omega$ 截断。

规则：

\text{IF }x=A\text{ AND }y=B\text{ THEN }z=C

事实：

x=A',\quad y=B'

匹配度：

\omega_1=\bigvee_x[\mu_{A'}(x)\wedge\mu_A(x)]

\omega_2=\bigvee_y[\mu_{B'}(y)\wedge\mu_B(y)]

结论：

\mu_{C'}(z)=(\omega_1\wedge\omega_2)\wedge\mu_C(z)

多规则时，每条规则得到一个输出模糊集，最后对各规则输出取并集，得到总输出模糊集合。

答题时可写：

各规则分别匹配 -> 后件截断或缩放 -> 多个输出集合合并 -> 去模糊

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模糊推理输出是模糊集合，实际控制需要清晰数值，因此要去模糊化。

常见方法：

重心法连续形式：

y^*=\frac{\int y\mu_B(y)\,dy}{\int \mu_B(y)\,dy}

离散形式：

y^*=\frac{\sum_{i=1}^{l}y_i\mu_B(y_i)}{\sum_{i=1}^{l}\mu_B(y_i)}

面积均分法：

\int_a^{y^*}\mu_B(y)\,dy=\int_{y^*}^{b}\mu_B(y)\,dy

Mamdani 推理：

\text{IF }x_1\text{ is }M_1\text{ AND }x_2\text{ is }M_2 \text{ THEN }u\text{ is }M_3

Takagi-Sugeno 推理：

\text{IF }x_1\text{ is }M_1\text{ AND }x_2\text{ is }M_2 \text{ THEN }u=f(x_1,x_2)

区别：

类型	后件	特点
Mamdani	模糊集合	直观，接近专家语言规则
T-S	函数	适合建模、优化和计算

必背：