作业题解析#

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题1: 差动驱动运动学计算#

题目#

差动驱动机器人，左轮直径 $2\mathrm{m}$ ($r_1 = 1\mathrm{m}$)，右轮直径 $3\mathrm{m}$ ($r_2 = 1.5\mathrm{m}$)，半轮距 $l = \pi/5\ \mathrm{m}$。机器人朝向 $\theta = \pi/4$，两轮以 $\omega = 6\ \mathrm{rad/s}$ 转动。求 $\dot{x}, \dot{y}, \dot{\theta}$。

解#

已知: $r_1 = 1$, $r_2 = 1.5$, $l = \pi/5$, $\theta = \pi/4$, $\dot{\phi}_1 = \dot{\phi}_2 = 6$

本体速度:

$$v_{xR} = \frac{r_1 \dot{\phi}_1 + r_2 \dot{\phi}_2}{2} = \frac{1 \times 6 + 1.5 \times 6}{2} = 7.5\ \mathrm{m/s}$$ $$v_{yR} = 0$$ $$\dot{\theta} = \frac{r_1 \dot{\phi}_1 - r_2 \dot{\phi}_2}{2l} = \frac{6 - 9}{2\pi/5} = -\frac{7.5}{\pi} \approx -2.387\ \mathrm{rad/s}$$

惯性系速度:

$$\dot{x} = v_{xR} \cos\theta = 7.5 \times \cos(\pi/4) = 7.5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 5.303\ \mathrm{m/s}$$ $$\dot{y} = v_{xR} \sin\theta = 7.5 \times \sin(\pi/4) = 7.5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 5.303\ \mathrm{m/s}$$ $$\dot{\theta} = -\frac{7.5}{\pi} \approx -2.387\ \mathrm{rad/s}$$

关键点#

• 两轮直径不同时，转速相同也会产生角速度 ($\dot{\theta} \neq 0$)
• $\dot{\theta}$ 的符号取决于哪边轮子大（右轮大 → 左转，$\dot{\theta}$ 为负）
• 惯性系速度需通过 $\cos\theta$ / $\sin\theta$ 投影

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题2: 机动性分析#

题目#

对以下情况确定 $\delta_m, \delta_s, \delta_M$: (a) 自行车 (b) 单球形轮动态平衡机器人 (c) 汽车 (d) 三瑞典轮机器人

解#

关键判断规则#

1. 固定标准轮 → 每个产生一个滑动约束 → 降低 $\delta_m$
2. 同轴的同类型轮只计为 1 个约束（$\operatorname{rank}=1$ 而非 $N$）
3. 瑞典轮 → 无滑动约束 → 不降低 $\delta_m$
4. 操纵轮 → 提供 $\delta_s$，但自身也产生约束

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题3: 双目视觉 — 对齐摄像机参数#

题目#

左右摄像机方向完全对准，成像面共面，$x$ 共轴，基线 $b=0.5\mathrm{m}$。 写出 $r'_r = R \cdot r'_l + r_0$ 中的 $R$ 和 $r_0$。

解#

旋转矩阵 $R$:

$$R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \text{(单位阵)}$$

因为两摄像机方向完全对准，无旋转。

平移向量 $r_0$:

$$r_0 = \begin{bmatrix} -b \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

右摄像机相对左摄像机沿 $x$ 轴向左偏移 $b = 0.5\mathrm{m}$。

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题4: 双目视觉 — 深度计算#

题目#

$f = 100\ \mathrm{mm} = 0.1\ \mathrm{m}$。P 点在左摄像机成像 $(0.005, 0.008)$，右摄像机成像 $(0.010, 0.008)$。求 P 点离左右摄像机透镜的距离。

解#

第 1 步: 验证共轭对 $y_l = y_r = 0.008$ → 确认是共轭对（同一条表偏振线）。

第 2 步: 计算视差

$$d = x_l - x_r = 0.005 - 0.010 = -0.005\ \mathrm{m}, \quad |d| = 0.005\ \mathrm{m}$$

第 3 步: 计算深度 $Z$

$$Z = \frac{b \cdot f}{|d|} = \frac{0.5 \times 0.1}{0.005} = 10\ \mathrm{m}$$

第 4 步: 3D 位置

$$X = Z \cdot \frac{x_l}{f} = 10 \times \frac{0.005}{0.1} = 0.5\ \mathrm{m}$$ $$Y = Z \cdot \frac{y_l}{f} = 10 \times \frac{0.008}{0.1} = 0.8\ \mathrm{m}$$

$P$ 点离左右摄像机透镜垂直距离均为 $\approx 10\ \mathrm{m}$。

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题5: 3×3 滤波核计算#

题目#

用以下滤波器对 $4 \times 4$ 图像滤波:

• (a) $3 \times 3$ 加权均值滤波器，边界补 $0$
• (b) $3 \times 3$ 中值滤波器，不处理边界

解题方法#

(a) 加权均值滤波#

边界补 $0$ → 图像外扩展一圈 $0$，输出仍为 $4 \times 4$。

对每个像素 $(i,j)$，取其 $3 \times 3$ 邻域（边界外为 $0$），与核逐元素相乘后求和。

(b) 中值滤波#

不处理边界 → 输出为 $2 \times 2$（仅内部像素）。

对每个内部像素 $(i,j)$，取其 $3 \times 3$ 邻域的 $9$ 个值，排序后取中值（第 5 个）。

注意#

• 加权均值: 核与窗口点乘后累加
• 中值滤波: 排序 → 取中 → 对椒盐噪声效果好

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各题考点对应#

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解题公式速查#