第 4 章 线性系统的根轨迹分析法#

4.1 根轨迹的基本概念#

根轨迹定义#

开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹

根轨迹方程#

开环传递函数等于 -1

幅值条件，相角条件：（kg>0 的情况）180° 等相角根轨迹

4.2 根轨迹的绘制方法#

概念#

1. 对称于实轴
2. 分支数等于 max (开环零点数 m，开环极点数 n)
3. 起点：极点；终点：零点和无穷远
4. 渐进线：n-m 条，在实轴上交于一点
5. 实轴上的根轨迹：若实轴上某点右边的开环零点和开环极点数之和为奇数，则该点是根轨迹上的点
6. 分离会合点：是闭环特征方程的重根；

2. 3. 4. 分离角：(2k+1)π/分支数 7. 出射角和入射角：只有复极点，复零点需要求，在实轴上的点不用求 8. 与虚轴的交点： 1. s=jw 2. 劳斯阵某一行全为 0 9. 闭环极点（特征根）之和与之积：n-m 大于等于 2 时，闭环极点之和等于开环之和

带角的（出入射角，渐近线角）180° 等相角根轨迹比 0° 等相角根轨迹多一个 π

实轴区间那个改成偶数

步骤#

1. 标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺
2. 实轴上的根轨迹
3. n-m 条渐近线
4. 根轨迹的出射角、入射角
5. 根轨迹与虚轴的交点
6. 根轨迹的分离点、会合点
7. 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹

参量根轨迹#

需要绘制除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参量根轨迹

变形获得等效根轨迹方程方法：把特征方程写为（不含参数的多项式）+（参数和另一个多项式的乘积）

例：

特殊情况#

• 零极点对消：图像上要保留
• 正反馈：画 0° 根轨迹
• 非最小相位系统根轨迹：有时会出现正反馈的效果，也画 0° 根轨迹

在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数

在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数

4.3 根轨迹分析法#

增加开环零、极点对根轨迹的影响#

在原开环传递函数零极点的左边增加极点：原根轨迹向右移动，降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间

在原开环传递函数零极点的左边增加零点：原根轨迹向左移动，增强系统的相对稳定性，减小系统的调整时间

条件稳定系统：参数在一定范围内取值才能稳定的系统（根轨迹会跑到 s 右半平面）#

P11：使系统达到一定性能指标的参数范围（todo#

课本 p245 例 4.4.1