01 模糊集合#

1. 本章定位#

模糊控制的数学基础。考试重点是定义、基本运算、隶属函数和 T/S 范式。

2. 从精确集合到模糊集合#

精确集合的隶属函数只有 0 或 1：

$$\mu_A(x)= \begin{cases} 1, & x\in A\\ 0, & x\notin A \end{cases}$$

模糊集合允许元素“部分属于”某集合：

$$A=\{(x,\mu_A(x))\mid x\in X\},\quad \mu_A(x)\in[0,1]$$

其中 $\mu_A(x)$ 是隶属函数，表示 $x$ 属于模糊集 $A$ 的程度。

3. 基本概念#

凸模糊集：

$$\mu_A(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\ge \min\{\mu_A(x_1),\mu_A(x_2)\}$$

4. 模糊集表示#

离散论域：

$$A=\frac{\mu_A(x_1)}{x_1}+\frac{\mu_A(x_2)}{x_2}+\cdots+\frac{\mu_A(x_n)}{x_n}$$

连续论域：

$$A=\int_X \frac{\mu_A(x)}{x}$$

注意：这里的加号、积分号和分数线是表示符号，不是真正的算术运算。

5. 基本运算#

子集：

$$A\subseteq B \iff \mu_A(x)\le \mu_B(x)$$

并集：

$$\mu_{A\cup B}(x)=\max\{\mu_A(x),\mu_B(x)\}$$

交集：

$$\mu_{A\cap B}(x)=\min\{\mu_A(x),\mu_B(x)\}$$

补集：

$$\mu_{\bar A}(x)=1-\mu_A(x)$$

6. 常见隶属函数#

三角形：

$$\operatorname{tri}(x;a,b,c)= \begin{cases} 0, & x\le a\\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a<x\le b\\ \dfrac{c-x}{c-b}, & b<x<c\\ 0, & x\ge c \end{cases}$$

梯形：

$$\operatorname{trap}(x;a,b,c,d)= \begin{cases} 0, & x\le a\\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a<x\le b\\ 1, & b<x\le c\\ \dfrac{d-x}{d-c}, & c<x<d\\ 0, & x\ge d \end{cases}$$

高斯：

$$g(x;c,\sigma)=\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-c}{\sigma}\right)^2\right]$$

广义钟形：

$$\operatorname{bell}(x;a,b,c)=\frac{1}{1+\left|\frac{x-c}{a}\right|^{2b}}$$

7. 语言算子 Hedges#

浓缩：

$$\mu_{\operatorname{con}A}(x)=[\mu_A(x)]^2$$

扩张：

$$\mu_{\operatorname{dil}A}(x)=[\mu_A(x)]^{1/2}$$

稍微加强：

$$[\mu_A(x)]^{1.25}$$

稍微减弱：

$$[\mu_A(x)]^{0.75}$$

8. T 范式与 S 范式#

T 范式表示“交”：

$$T_{\min}(a,b)=\min(a,b)$$ $$T_{ap}(a,b)=ab$$ $$T_{bp}(a,b)=\max\{0,a+b-1\}$$

S 范式表示“并”：

$$S_{\max}(a,b)=\max(a,b)$$ $$S_{as}(a,b)=a+b-ab$$ $$S_{bs}(a,b)=\min\{1,a+b\}$$

9. 本章考点#

必背：

1. 模糊集合定义。
2. 支撑集、核、$\alpha$ 截集。
3. 并、交、补运算。
4. 三角形、梯形、高斯隶属函数。
5. T 范式和 S 范式的含义。